公投門檻設計與數學

本文已有新版:公投的酵果,敬請參閱

(本文「沒有」提出解決辦法,而是指出一些我認為被忽略的東西。)

一、文獻回顧

ckhung0的〈數學觀點看公投門檻: 高中數學的 「單調遞增函數」 是立法委員的死穴嗎?〉認為:
論點1:不應「多一個人來投反對票, 反而讓原本的不通過翻盤成通過」
並以之為前提而說明公投的贊成率門檻應該是單調遞增函數。其中「贊成率」的分母是「投票權人總數」而非「投票人數」。
就其語意,應該也可追加一條件:
論點2:不應「多一個人來投贊成票, 反而讓原本的通過翻盤成不通過」
如果同意,那麼門檻函數f(x)應該有個特性是:
f(x+a)-f(x) <= a for every x >=0 and every 0 <= a <= 1-x

而如果門檻函數是可微分的函數,那麼依照論點1與論點2,其應滿足:
0 <= f'(x) <= 1
至少,在門檻函數可微分的區段中,應該符合前述條件。

我的質疑在:論點1是正確的嗎?
(註:我其實對論點2是否正確也有存疑,只是尚無定論而猜其正確)

二、公投「否決」的效果

公民投票法關於「投票結果」的規定集中在第30條至第33條,需要特別注意的是:「通過」與「否決」的效果,並不是相反的。
簡言之,「通過」確實表示「政府應照做」,但「否決」只表示「政府不需照做」。
換成核四議題的說法就是:如果把題目定成「停建」而結果是「否決」,其效果是「可以不用停建」而不是「必須續建」。

用術語來說的話,就是:公投案僅在通過時,對政府發生拘束力。
用法律文字來說的話,就是:公投案通過時,政府「應」有作為;否決時,「得」不作為。
用白話文說的話,就是:公投案被否決的話,政府想做甚麼都可以。

我們知道「否決」有兩種可能:
(一)投票率未過半
(二)贊成票未過有效票之一半
在第二種情況或許會礙於輿論壓力,但在第一種情況下,不難想像政府以「表態人數不足」作為「全民的意見並不是真的反對」的藉口,而仍然施行投票案的內容。
(其實就算是投票率過半的否決情形,也可能發生前述狀況)

三、兩個二分法的盲點

在當前核四案的狀況,其實民眾是想確認「到底要不要續建」。在這樣的前提下,應該要是「必須續建」和「必須停建」兩種選項。但如前所述,公投法的設計是只有「應XXX」和「得不XXX」兩種結果,而沒有允許第三種可能。

想像一下只有兩個候選人的選舉,除了「有人當選」之外,還有一個情形是「沒有人當選」。(註:我國選罷法原則上不會這樣,另建議搜尋「反對所有候選人」

但是公投法的設計卻是:先在兩個候選人(「續建」與「停建」)之中「選」一個出來辦選舉,然後決定贊不贊成這個候選人當選。
也就是說,我們其實選了兩次。第一次是選「需要考慮XX嗎」,第二次是選「要不要XX」。

這就是為什麼,我們連「公投的題目是甚麼」都要爭論。
假設第一次是選「需要考慮停建嗎」,那麼法律上後續並沒有「非續建不可」的空間;
但是如果真的被否決了(我國公投至今也確實都是否決),輿論觀感卻會變成「一定得續建」。

另一個二分法的盲點,則在於投出去的「票」有幾種可能。
我想大多數人會回答「兩個,只有『贊成』跟『反對』」,但其實還有第三個:廢票。
幸好,公投的門檻是同意票要超過「有效投票數」的一半而不是「投票人數」的一半,所以在公投案我們不用在此著墨太多。
邏輯上還是要稍微注意一下:假設投票權人總數是10萬,2萬人投贊成票、1萬人投反對,那麼剩下的7萬人如果都沒投票,就是否決,如果都投廢票,就會通過。

四、門檻的設計原理

為解釋方便,以下分為三種情形:
A:通過
B:投票率未過半,因而否決
C:投票率過半,但贊成票未過有效票的一半,因而否決

我對現行公投的理解是:決定要不要逼政府有所行為。(註:「行為」包含「做」和「不做」,法律上稱為「作為」和「不作為」)
這跟人事選舉很不一樣。人事選舉是「我們必須選個人出來」;但是公投卻不是決定「我們要逼政府做甚麼」,而是「我們要不要逼政府」。

在這個前提下,A情形(公投通過)就是「要逼」;而B情形(投票率不足)則可以理解為「沒甚麼人關心要不要逼」;C情形則是「大家覺得不需要逼」。

B情形下,公投法認為這個表決結果不足以代表民眾意見,所以這個議題沒甚麼人關心、對政府沒有拘束力,而這個議題現在沒甚麼人關心,數年內大概也不會有,所以三年(或八年)內不能再提相同的公投案。

C情形下,公投法認為這個意見有效,而這個意見就是「不用管政府」,所以對政府沒有拘束力,而由於已經「決定」不用管政府,太快推翻的話很難做事,所以三年(或八年)內不能再提相同的公投案。

但是,我們的公投法把B跟C都歸叫做「否決」,且有相同的效果。

五、(我想不到標題)

在前述的設定下,我並不覺得一開始的論點1(不應「多一個人來投反對票, 反而讓原本的不通過翻盤成通過」)是絕對正確的。
假設投票權人總數是10萬,而有49,900人贊成、沒有廢票,那麼:
情形S:反對票有50張時,全案為否決;
情形T:反對票有500張時,全案為通過。

情形S的考量是:表決結果不足以代表民意,所以「不用逼政府XX」。
如果理解為「逼政府不能XX」,所以才會覺得詭異。

請注意這並不是說目前的門檻函數就是「好的」。我認為它不夠好的原因並不是數學,而是會造成議題本身的討論失焦(比方說,我居然把心思花在寫這篇文,而不是討論核四或核能問題)。
(不然,許多法律規定的詭異之處太多了,例如「無過失責任」竟然要求沒有錯的人要賠錢,但其實也是有其考量的)

附帶一提,ckhung0提出的方案中,B方案與修憲門檻相同(憲法增修條文第12條:有效同意票過選舉人總額之半數)

六、另一種修法方式

在前述「二分法的盲點」乙節中,我們知道現行的公投制度沒法讓核四議題的選項變成「必須續建」和「必須停建」,那麼有沒法子改呢?

回想既有的三種情形:
A:投票率過半,且贊成票多於反對票
B:投票率未過半
C:投票率過半,但贊成票未過有效票的一半

假設公投題目是「要不要XX」
我個人的意見是:A情形依然是「必須XX」,B情形依然是「隨便」(因不足代表民意),但是C情形卻是「不可以XX」。
簡言之,就是讓「反對XX」的人的意見,也可以在該意見為多數時可以約束政府的作為。至於以「一半」為門檻而有「非此即彼」的效果會不會太危險?我沒有定論,但是也可以這樣:

A(必須XX):投票率過半、贊成票達投票人數的2/3
B(隨便):不是A也不是C
C(不得XX):投票率過半、反對票達投票人數的2/3

不過,這樣的設計下,關於「不得重複提案」的規定要怎麼設定,恐怕是個難題;
更麻煩的問題是:所有問題都可以用同樣的設計嗎?如果要分類,誰來決定一個問題該歸屬哪類?

七、附論:關於投票議題的思考建議

(一)討論投票門檻時,應注意下列各數字間的關係:
A: 投票權人
B: 出席人數(公投沒有此問題,或說B==C)
C: 投票人數(可能出席但不投票)
D: 有效票數(可能投廢票)
E: 贊成票數

(二)在人數不多時,並需注意門檻是否包含自身(即:「超過」或「達」)。在此可以試著思考:為何常見的門檻是「過」半數而不是「達」半數?

所以公投通過的門檻是:
C/A > 0.5 且 E/D > 0.5

而修憲就麻煩的多:
  • 立法院內的提議門檻是
    E/A>=0.25
  • 立院(對外)提出憲法修正案的門檻是
    B/A>=0.75 且 C/B >= 0.75 且 E/B >= 0.5
  • 全民複決的門檻是
    E/A > 0.5
註:公投也有提案門檻,依題目性質而定。

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