公投門檻設計與數學

本文已有新版：公投的酵果，敬請參閱。

（本文「沒有」提出解決辦法，而是指出一些我認為被忽略的東西。）

一、文獻回顧

ckhung0的〈數學觀點看公投門檻: 高中數學的 「單調遞增函數」 是立法委員的死穴嗎?〉認為：

論點1：不應「多一個人來投反對票, 反而讓原本的不通過翻盤成通過」

並以之為前提而說明公投的贊成率門檻應該是單調遞增函數。其中「贊成率」的分母是「投票權人總數」而非「投票人數」。
就其語意，應該也可追加一條件：

論點2：不應「多一個人來投贊成票, 反而讓原本的通過翻盤成不通過」

如果同意，那麼門檻函數f(x)應該有個特性是：


而如果門檻函數是可微分的函數，那麼依照論點1與論點2，其應滿足：

至少，在門檻函數可微分的區段中，應該符合前述條件。

我的質疑在：論點1是正確的嗎？
（註：我其實對論點2是否正確也有存疑，只是尚無定論而猜其正確）

二、公投「否決」的效果

公民投票法關於「投票結果」的規定集中在第30條至第33條，需要特別注意的是：「通過」與「否決」的效果，並不是相反的。
簡言之，「通過」確實表示「政府應照做」，但「否決」只表示「政府不需照做」。
換成核四議題的說法就是：如果把題目定成「停建」而結果是「否決」，其效果是「可以不用停建」而不是「必須續建」。

用術語來說的話，就是：公投案僅在通過時，對政府發生拘束力。
用法律文字來說的話，就是：公投案通過時，政府「應」有作為；否決時，「得」不作為。
用白話文說的話，就是：公投案被否決的話，政府想做甚麼都可以。

我們知道「否決」有兩種可能：
（一）投票率未過半
（二）贊成票未過有效票之一半
在第二種情況或許會礙於輿論壓力，但在第一種情況下，不難想像政府以「表態人數不足」作為「全民的意見並不是真的反對」的藉口，而仍然施行投票案的內容。
（其實就算是投票率過半的否決情形，也可能發生前述狀況）

三、兩個二分法的盲點

在當前核四案的狀況，其實民眾是想確認「到底要不要續建」。在這樣的前提下，應該要是「必須續建」和「必須停建」兩種選項。但如前所述，公投法的設計是只有「應XXX」和「得不XXX」兩種結果，而沒有允許第三種可能。

想像一下只有兩個候選人的選舉，除了「有人當選」之外，還有一個情形是「沒有人當選」。（註：我國選罷法原則上不會這樣，另建議搜尋「反對所有候選人」）

但是公投法的設計卻是：先在兩個候選人（「續建」與「停建」）之中「選」一個出來辦選舉，然後決定贊不贊成這個候選人當選。
也就是說，我們其實選了兩次。第一次是選「需要考慮XX嗎」，第二次是選「要不要XX」。

這就是為什麼，我們連「公投的題目是甚麼」都要爭論。
假設第一次是選「需要考慮停建嗎」，那麼法律上後續並沒有「非續建不可」的空間；
但是如果真的被否決了（我國公投至今也確實都是否決），輿論觀感卻會變成「一定得續建」。

另一個二分法的盲點，則在於投出去的「票」有幾種可能。
我想大多數人會回答「兩個，只有『贊成』跟『反對』」，但其實還有第三個：廢票。
幸好，公投的門檻是同意票要超過「有效投票數」的一半而不是「投票人數」的一半，所以在公投案我們不用在此著墨太多。
邏輯上還是要稍微注意一下：假設投票權人總數是10萬，2萬人投贊成票、1萬人投反對，那麼剩下的7萬人如果都沒投票，就是否決，如果都投廢票，就會通過。

四、門檻的設計原理

為解釋方便，以下分為三種情形：
A：通過
B：投票率未過半，因而否決
C：投票率過半，但贊成票未過有效票的一半，因而否決

我對現行公投的理解是：決定要不要逼政府有所行為。（註：「行為」包含「做」和「不做」，法律上稱為「作為」和「不作為」）
這跟人事選舉很不一樣。人事選舉是「我們必須選個人出來」；但是公投卻不是決定「我們要逼政府做甚麼」，而是「我們要不要逼政府」。

在這個前提下，A情形（公投通過）就是「要逼」；而B情形（投票率不足）則可以理解為「沒甚麼人關心要不要逼」；C情形則是「大家覺得不需要逼」。

B情形下，公投法認為這個表決結果不足以代表民眾意見，所以這個議題沒甚麼人關心、對政府沒有拘束力，而這個議題現在沒甚麼人關心，數年內大概也不會有，所以三年（或八年）內不能再提相同的公投案。

C情形下，公投法認為這個意見有效，而這個意見就是「不用管政府」，所以對政府沒有拘束力，而由於已經「決定」不用管政府，太快推翻的話很難做事，所以三年（或八年）內不能再提相同的公投案。

但是，我們的公投法把B跟C都歸叫做「否決」，且有相同的效果。

五、（我想不到標題）

在前述的設定下，我並不覺得一開始的論點1（不應「多一個人來投反對票, 反而讓原本的不通過翻盤成通過」）是絕對正確的。
假設投票權人總數是10萬，而有49,900人贊成、沒有廢票，那麼：
情形S：反對票有50張時，全案為否決；
情形T：反對票有500張時，全案為通過。

情形S的考量是：表決結果不足以代表民意，所以「不用逼政府XX」。
如果理解為「逼政府不能XX」，所以才會覺得詭異。

請注意這並不是說目前的門檻函數就是「好的」。我認為它不夠好的原因並不是數學，而是會造成議題本身的討論失焦（比方說，我居然把心思花在寫這篇文，而不是討論核四或核能問題）。
（不然，許多法律規定的詭異之處太多了，例如「無過失責任」竟然要求沒有錯的人要賠錢，但其實也是有其考量的）

附帶一提，ckhung0提出的方案中，B方案與修憲門檻相同（憲法增修條文第12條：有效同意票過選舉人總額之半數）

六、另一種修法方式

在前述「二分法的盲點」乙節中，我們知道現行的公投制度沒法讓核四議題的選項變成「必須續建」和「必須停建」，那麼有沒法子改呢？

回想既有的三種情形：
A：投票率過半，且贊成票多於反對票
B：投票率未過半
C：投票率過半，但贊成票未過有效票的一半

假設公投題目是「要不要XX」
我個人的意見是：A情形依然是「必須XX」，B情形依然是「隨便」（因不足代表民意），但是C情形卻是「不可以XX」。
簡言之，就是讓「反對XX」的人的意見，也可以在該意見為多數時可以約束政府的作為。至於以「一半」為門檻而有「非此即彼」的效果會不會太危險？我沒有定論，但是也可以這樣：

A（必須XX）：投票率過半、贊成票達投票人數的2/3
B（隨便）：不是A也不是C
C（不得XX）：投票率過半、反對票達投票人數的2/3

不過，這樣的設計下，關於「不得重複提案」的規定要怎麼設定，恐怕是個難題；
更麻煩的問題是：所有問題都可以用同樣的設計嗎？如果要分類，誰來決定一個問題該歸屬哪類？

七、附論：關於投票議題的思考建議

（一）討論投票門檻時，應注意下列各數字間的關係：
A: 投票權人
B: 出席人數（公投沒有此問題，或說B==C）
C: 投票人數（可能出席但不投票）
D: 有效票數（可能投廢票）
E: 贊成票數

（二）在人數不多時，並需注意門檻是否包含自身（即：「超過」或「達」）。在此可以試著思考：為何常見的門檻是「過」半數而不是「達」半數？

所以公投通過的門檻是：


而修憲就麻煩的多：

• 立法院內的提議門檻是
  ，
• 立院（對外）提出憲法修正案的門檻是
  ，
• 全民複決的門檻是
  。

註：公投也有提案門檻，依題目性質而定。

本文已有新版：公投的酵果，敬請參閱。